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後輪の軸がぶれている原因がわからず、ネットで調べてもそのような現象はみつかりませんでした。家族の同様の自転車の後輪は、しっかりしています。
いろいろ触っていくうちに、なんとなく原因が見えてきました。
１．荷台をはずしたけど、その隙間を埋めていない。
２．当初わからず、いろいろネジを緩めてしまった。
結局は、サドルを固定する部分から後輪の軸に向けて伸びている部分を増し締めして、右側軸近くの車軸のナットを締め直すことで修理できました。
自転車屋さんから受け取り１０年以上、パンクとタイヤ交換、ギア用のケーブル交換以外は、ほとんどメンテナンスフリーでした。それを自己流でいじることで、ここまで耐久性が下がるのと、完成品の品質の高さを改めて知りました。コストパフォーマンス（費用も時間も）を考えれば、自転車屋さんに持ち込むのが一番いいですね。
あと、サドルがぶれていたのですが、こちらは明らかに柱の部分と、サドルの矢倉に当たる部分の太さが異なっていました。
細い柱に、太いサドルの受け口を無理やり締めていたのですが、無理がありました。
この対策は、古いサドルの矢倉受け口を取り外し、今回新しく用意したサドルに付け替えることで、しっかり固定できました。一部の部品が、ブラックの中にシルバーの錆び錆びになるのは仕方なしです。